ПостТрещина 💔

Трещина 💔 В начале XX века математика переживала кризис. В теории множеств, на которой она была построена, обнаружили парадоксы. Самый популярный сформулировал Бертран Рассел: множество всех множеств, не содержащих самих себя — оно содержит себя или нет? Любой ответ ведёт к противоречию. Лучшие умы взволновались не на шутку: а вдруг подобная трещина прячется ещё глубже — в арифметике? Немецкий математик Давид Гильберт предложил план спасения. Перестроить всю математику как формальную систему: конечный список аксиом + механические правила вывода. И затем поставить точку, доказав два свойства этой системы: 🌟Полнота — любое истинное утверждение выводимо из аксиом. 🌟Непротиворечивость — никакое утверждение нельзя доказать вместе с его отрицанием. Тогда математика превратилась бы в идеальный механизм. Любая задача была бы вопросом времени и усердия. «Мы должны знать — мы будем знать» — повелел выбить Гильберт на своём надгробии. В 1930 году на конференции в Кёнигсберге, где Гильберт произнёс эти слова, в кулуарах скромный 24-летний австриец Курт Гёдель упомянул свой свежий результат. На него почти не обратили внимания. Зря. Этот результат похоронил программу Гильберта целиком. Гёдель совершил диверсию изнутри. Он придумал, как закодировать числами сами утверждения о числах. Каждой формуле сопоставил свой номер. Каждому доказательству — свой номер. Внезапно арифметика стала говорить о самой себе. Тогда Гёдель сконструировал формулу G, которая, если расшифровать её, означает: 🌟Утверждение G недоказуемо в этой системе🌟. Ловушка таится в том, что если G доказуема, значит, она лжёт, и система доказала ложь: система противоречива. Если G недоказуема, значит, она говорит правду. Существует истинное утверждение, которое система доказать не может. Это выбор без выбора: либо система противоречива, либо неполна. Это не дефект конкретных аксиом, который можно залатать. Добавьте G как новую аксиому и конструкция Гёделя немедленно построит новую недоказуемую истину G′. И так до бесконечности. Трещина двигается вместе с фундаментом. Вторая теорема добила. Система не может доказать собственную непротиворечивость. Математика в принципе не способна изнутри гарантировать, что она не противоречива. Мы пользуемся ею на доверии — таком же, на каком держатся деньги. Спустя 5 лет Алан Тьюринг перенёс ту же конструкцию на машины и получил проблему остановки: невозможно написать программу, которая для любой программы определит, зависнет та или завершится. Это то же самое гёделевское самоприменение. Именно из этих размышлений родилась модель компьютера, на котором вы прямо сейчас читаете этот пост. Проблема идёт куда дальше. Физика упёрлась в предел наблюдения, в квантовую неопределённость. Термодинамика — в предел порядка. Гёдель показал, что даже чистый разум, не привязанный ни к какой материи, имеет встроенный предел. Не бывает системы знаний, которая видит себя целиком. Глаз не может увидеть сам себя. Ему нужно зеркало. Зеркало — уже другая система, у которой своё слепое пятно.