Если я правильно понимаю, не так давно они таки написали правильный многочлен с коэффициентами выражающимися через миноры изначальной матрицы, у которого x^{Sinkhorn}_{1, 1} должно быть корнем, но почему-то не получается это доказать. (знаки в суммах подсказал ChatGPT o3-mini-high...)
Инвариантность относительно операций достаточно тривиальна, так что вопрос сводится к уравнению на элементы doubly stochastic matrix. Так как многочлен определяется довольно сложно через комбинаторику, то вопрос не самый простой, но мне кажется, что должно быть можно разобраться
Я спросил LLM, что в этой задаче сейчас происходит, и она мне очень nonchalantly сообщила, что в статье
https://arxiv.org/pdf/2506.06338, которая доказывает, что алгебраическая степень x^{Sinkhorn}_{1, 1} (над \Q с изначальными элементами или просто над \Q, если изначально матрица рациональная) не больше binom(2n-2, n-1), есть ошибка. Вроде и правда ошибка: в середине страницы 8 там пишется равенство вида dim(C\cap L)=dim(C)+dim(L)-N для проективных многообразий, хотя без пояснений верна только оценка снизу, и надо отедльно доказывать, что пересечение какое-то generic. Но я в деталях не разбирался, может LLM-ка чего-то не учла.
Но ничего, говорит LLM, не кручинься, в статье 2017 года без каких либо упоминаний Sinkhorn limit уже доказали эту оценку!
https://arxiv.org/pdf/1703.02251 Там явно этой теоремы нет, но вроде результат сразу следует из этой статьи.
Думаю, сейчас AI может разобраться во всей этой комбинаторике и дорешать задачу. Какой в этом будет толк сказать сложно...