Ещё можно немного притянуть за уши и сказать, что аксиоматический подход это там где мы честно засучив рукава из аксиом всё выводим, а в синтетическом подходе, пусть мы и подходим тоже аксиоматически, но мы кодируем объект так, что некоторые нужные нам свойства выполняются "канонически" самой формальной системой
Например, вычислительные равенства и принципы индукции в системах типов
Anton Stekanovну вот есть "аксиоматическое задание" вещественных чисел как "множества со структурой непрерывного упорядоченного поля". а есть например сечения Дедекинда. с одной стороны и то, и то - анлитические построения, а с другой, одно как-будто более синтетическое, чем другое
Я лично не вижу этого "более синтетическое". Может быть чисто субъективным впечатлением, конечно.
S A few clarifications on “synthetic” vs “analytic”. These terms are by no means original to Kant but go back at least to Plato and Pappus. Very roughly, for Pappus analytic reasoning involved reasoning backward from the desideratum to something known, whereas synthetic reasoning was just the opposite. Viéte seems to have coined the use of “analysis” for, essentially, solving algebraic equations in which the unknown, as a variable, is manipulated as if it were a known number. There is thus a somewhat accidental evolution toward “analytic” methods as meaning, essentially, algebraic ones, and synthetic, geometric, over the early modern period.