ВеткаТочка P выбирается равномерно случайным образом внутри куба с длиной стороны 2.
34 сообщения · –A A A A A A A
A A A A плотность квадрата разности правдоподобна. первый интеграл нам не интересен, ибо у нас неравенство s < 1. во втором интеграле надо наружный интеграл брать не до 4, а до s, тогда самый сложный интеграл получится от sqrt(s - z)/sqrt(z) * dz от 0 до s. если гугель не врёт, это равно s*pi/2. я мог налажать, но у меня вышло s*pi/4 - s^1.5/3 + s^2/32. при s = 4 это примерно равно 0.974925986923 с вашим значением примерно сходится. при s = 1 примерно 0.48331483. это ответ на задачу про квадрат вместо куба. для размерности 3 надо проинтегрировать ещё раз, особых сложностей быть не должно.A A A когда складываем две независимые переменные y и z, мы перемножаем их плотности и интегрируем результат по множеству y + z < s. в вашем случае, как я понял, s = 4. значит плотности будут просто от y и от z соответственно, внешний интеграл z от 0 до s, а внутренний y от 0 до s - z. тогда внутренний легко берётся, а потом и внешний. возможно, маткад его из-за этого не осилил.A A да, интересная формула. я считал не совместную плотность, а совместную вероятность, через двойной интеграл независимых x и y. при этом во внутреннем интеграле внешняя переменная участвовала только в верхнем пределе, а сам внутренний интеграл был фактически равен cdf(s - y). cdf(s) = int(pdf(x) * cdf(s - x), x = 0 .. s) численные значения вроде совпали при s = 4 (хотя хотелось бы увидеть больше знаков), значит, у обеих формул есть шансы оказаться верными. ещё хотелось бы увидеть ваш результат для s = 1.
A хотя не, всё ещё торможу. у вас же внутренний интеграл по y от 0 до z. единственное нетривиальное слагаемое там 1/(sqrt(y)*sqrt(z-y)), он, если гугель не врёт, равен пи. итого внутренний интеграл получается pi/4 - sqrt(z)/2 + z/16. тогда его первообразная z*pi/4 - sqrt(z)^3/3 + z^2/32, ровно как и было в предыдущих вычислениях.