Math
👁🗨 Теория вероятности: Старт
Давно на канале не было длинных постов. Пора возвращать этот формат.
Теория вероятностей — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Мы начнём с базы: разберём терминологию и простые правила.
🔠 Терминология
Сначала нужно понять три вещи.
Все исходы — это множество всех возможных вариантов. Например, для кубика это {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Других результатов быть не может.
Благоприятные исходы — те, которые нас устраивают при конкретном вопросе. Считаем вероятность выпадения чётного числа — благоприятные исходы будут {2, 4, 6}.
Событие — это условие, которое и задаёт, какие исходы считаются благоприятными. Событие «чётное число на кубике» как раз отбирает 2, 4 и 6.
📶 Как считать вероятность
Когда все исходы равновозможны, работает простая формула:
Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Число всех исходов)
- Шанс выпадения 4 на кубике: благоприятный исход всего один (это сама четвёрка), всего исходов 6. Значит, вероятность = 1/6.
- Шанс выпадения орла на монетке: благоприятный исход один (орёл), всего исходов два. Вероятность = 1/2 = 0.5.
- Шанс вытянуть туза из колоды в 36 карт: в колоде 4 туза, всего карт 36. Вероятность = 4/36, сокращаем до 1/9.
🔺🔻🔺
Вероятность — это всегда число от 0 до 1.
Ноль — событие невозможно. Например, выбросить 7 на обычном кубике с цифрами от 1 до 6.
Единица — событие достоверное, оно произойдёт в любом случае. Например, вероятность того, что после понедельника наступит вторник, равна 1.
Если при расчётах получается значение меньше 0 или больше 1 — где-то ошибка. Так не бывает.
В следующих постах разберём случаи, когда исходы не равновозможны, и посмотрим, какие ещё определения вероятности существуют.
#простым_языком
4 · 488 · Math
Ошибки интуиции в вероятности
Теория вероятности — странная тема для нашего мозга. Она почти всегда кажется очевидной, но почти всегда это оказывается неправильным решением.
⭕ Ошибка игрока
Разберём этот парадокс на примере монетки. До этого 5 раз подряд выпадала решка. Какова вероятность, что сейчас выпадет решка?
Кажется, что шанс будет меньше. Но на самом деле вероятность = 1/2.
🤔 Почему так?
На первый взгляд кажется, что это нелогично. Но чтобы понять почему, необходимо познакомиться с новым термином — независимые события.
Независимые события — это когда исход одного события не влияет на исход другого. Монета не помнит, что выпадало до этого. Каждый бросок начинается с чистого листа. Поэтому вероятность решки на шестом броске всё та же — 1/2.
Мозг пытается искать закономерности даже там, где их нет. Кажется, что после пяти решек вероятность орла должна вырасти, но это не так. В этом и есть ошибка игрока.
🎉 Парадокс дней рождения
Теперь другая ситуация. Как вы думаете, сколько человек должно быть в комнате, чтобы с вероятностью больше 1/2 у кого-то совпали дни рождения?
Интуиция подсказывает: 365/2 ≈ 183. Но правильный ответ — всего 23 человека.
❓ Почему так?
Здесь работает комбинаторика. Мы считаем не совпадение с конкретным днём, а совпадение между любыми двумя людьми. Количество пар растёт быстро: для 23 человек это 253 пары. Вероятность того, что в паре дни рождения разные — 364/365. Для всех пар перемножаем: (364/365)^253 ≈ 0.4995. Тогда вероятность хотя бы одного совпадения ≈ 1 − 0.4995 = 0.5005, то есть чуть больше 1/2.
Этот парадокс часто удивляет, но он хорошо иллюстрирует, как интуиция ошибается в вероятностях.
👇 В следующий раз разберём ещё несколько таких ошибок. Если есть идеи, что ещё доказать/разобрать, пиши в комментариях
#углублённо
6 · 540 · Фотография
нажмите — покажем
нажмите — покажем
Недавно собрал все длинные посты с данного канала в каталог
Я и сам удивился, как много тем мы разобрали за 3 года
1 · 447 · Ошибки интуиции в вероятности. Часть 2
Продолжим разбирать ситуации, в которых мозг обманывает сам себя. В прошлый раз мы говорили про ошибку игрока и парадокс дней рождения. Сегодня разберём ещё один пример, где интуиция почти всегда даёт сбой.
🚪 Парадокс Монти Холла
Представьте, что вы участвуете в игре. Перед вами три двери. За одной — автомобиль, за двумя другими — козы. Вы выбираете дверь, но не открываете её. Ведущий (он знает, где машина) открывает одну из оставшихся дверей, за которой коза. Затем он предлагает вам изменить свой выбор и открыть другую закрытую дверь. Вопрос: стоит ли менять дверь?
Интуиция говорит, что разницы нет. Осталось две двери, за одной машина — вероятность выигрыша 1/2. Но это неправильно.
Правильный ответ: менять дверь выгодно. Вероятность выигрыша при смене — 2/3, а если остаться при своём — только 1/3.
◻️ Почему так?
Когда вы выбрали первую дверь, вероятность сразу попасть на машину была 1/3, а вероятность того, что машина за одной из двух других дверей — 2/3. Ведущий всегда открывает дверь с козой, поэтому он как бы убирает заведомо проигрышный вариант из этих двух. Но суммарная вероятность того, что машина была среди тех двух дверей, никуда не делась — она всё ещё 2/3. Только теперь эта вероятность сконцентрирована на одной оставшейся закрытой двери. Поэтому смена выбора даёт вдвое больше шансов.
◻️ Пример для наглядности
Рассмотрим все возможные варианты. Пусть машина за дверью 1.
- Вы выбрали дверь 1. Ведущий открывает любую из оставшихся (2 или 3), за ними козы. Если вы остаётесь при своём — выигрываете, если меняете — проигрываете.
- Вы выбрали дверь 2. Ведущий обязан открыть дверь 3 (там коза). Остаётся закрытой дверь 1. Если меняете — выигрываете, если остаётесь — проигрываете.
- Вы выбрали дверь 3. Ведущий обязан открыть дверь 2. Остаётся дверь 1. Если меняете — выигрываете, если остаётесь — проигрываете.
Из трёх сценариев смена выбора приводит к выигрышу в двух случаях, а сохранение — только в одном. Отсюда и в
6 · 544 · Фотография
нажмите — покажем
1 · 536 · нажмите — покажем
Math
💉 Ошибки интуиции в вероятности. Часть 3
Продолжаем разбирать ситуации, где интуиция подводит. Финальный пример: медицинский тест. Он хорошо показывает, как легко обмануться, если не учитывать все условия.
🏥 Задача
Пусть в популяции некоторая болезнь встречается у 0.1% людей. Иначе говоря, болен 1 человек из 1000. Существует тест, который определяет болезнь с точностью 99%: если человек болен, тест даст положительный результат в 99% случаев. Если человек здоров, тест ошибается и тоже показывает положительный результат в 1% случаев (это называется ложноположительным срабатыванием).
Вы случайный человек с улицы. Вы проходите тест и получаете положительный результат. Какова вероятность, что вы действительно больны?
Интуиция почти всегда подсказывает: тест точен на 99%, значит и шанс болезни — около 99%. Но на самом деле это не так.
Считаем правильно
Рассмотрим 100 000 случайных людей. При распространённости 0.1% больных среди них будет примерно 100 человек, а здоровых — 99 900.
- Из 100 больных тест верно определит болезнь у 99 человек (99%).
- Из 99 900 здоровых тест даст ложноположительный результат у 1%, то есть у 999 человек.
Общее количество положительных результатов: 99 + 999 = 1098.
Из них действительно больных только 99.
Вероятность быть больным при положительном тесте равна 99 / 1098 ≈ 0.09, то есть примерно 9%.
Разница между ожидаемыми 99% и реальными 9% колоссальна.
Почему так странно работает
Всё дело в том, что болезнь очень редкая. Больных людей в тысячу раз меньше, чем здоровых. И хотя тест ошибается всего в 1% случаев у здоровых, этих здоровых так много, что абсолютное число ложных срабатываний (999) оказывается значительно больше, чем число истинных положительных (99). Тест буквально находит сотни ложных больных на каждого настоящего, потому что проверил огромную толпу здоровых.
Формально это описывается теоремой Байеса. Она учитывает не только точность теста, но и априорную вероятность — то есть насколько вообще вероятно быть больным до пр
6 · 571 · Фотография
нажмите — покажем
4 · 524 · нажмите — покажем
Math
⏹️ Теория вероятности: Сложение и умножение
Продолжим разбирать базу. Когда понятны исходы и события, встаёт следующий вопрос — как считать вероятности, если событий несколько.
Есть два основных правила. Какое применять, зависит от формулировки условия. Если в задаче стоит «ИЛИ» — работает одно правило. Если «И» — другое.
🔀 Сложение вероятностей (событие «ИЛИ»)
Это правило используется, когда нас устраивает наступление хотя бы одного из нескольких событий. При этом события должны быть несовместными — то есть они не могут произойти одновременно.
Формула:
P(A или B) = P(A) + P(B)
Несовместные события — это когда появление одного исключает появление другого. Например, выпадение орла и решки в одном броске одной монеты. Монета не может упасть двумя сторонами одновременно. Поэтому эти события несовместны.
Пример: бросаем кубик. Какова вероятность, что выпадет 1 или 6?
P(1) = 1/6
P(6) = 1/6
События несовместны — кубик не может показать 1 и 6 одновременно.
P(1 или 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Если события совместны (могут произойти одновременно), формула немного сложнее, но это разберём позже.
🔁 Умножение вероятностей (событие «И»)
Это правило используется, когда нам нужно, чтобы произошли оба события одновременно или последовательно. События при этом должны быть независимыми.
Формула:
P(A и B) = P(A) × P(B)
Независимые события — это когда исход одного никак не влияет на исход другого. Про это мы уже говорили в посте про ошибку игрока.
Пример: бросаем монету два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?
P(орёл в первом броске) = 1/2
P(орёл во втором броске) = 1/2
Броски независимы — монета не помнит предыдущий результат.
P(два орла подряд) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Задача посложнее: бросаем кубик дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет шестёрка
P(шестёрка в первом броске) = 1/6
P(шестёрка во втором броске) = 1/6
Броски независимы.
P(две шестёрки) = 1/6 × 1/6 = 1/36
#простым_языком
5 · 746 · Math
✳️ Условная вероятность
В прошлый раз мы говорили, что независимые события не влияют друг на друга. Но в жизни так бывает не всегда. Часто наступление одного события меняет шансы другого. Для таких случаев вводят понятие условной вероятности.
Условная вероятность — это вероятность события A при условии, что событие B уже произошло. Обозначается P(A|B). Читается так: «вероятность A при условии B».
P(A|B) = P(A и B) / P(B)
Здесь P(A и B) — вероятность, что произошли оба события одновременно. P(B) — вероятность самого условия. Мы как бы сужаем пространство всех возможных исходов до тех, где B уже случилось.
🃏 Простой пример
Представьте колоду из 36 карт. Тянем одну карту наугад.
Событие A — вытянули туза.
Событие B — вытянули карту чёрной масти.
P(A) без всяких условий = 4/36 = 1/9.
Теперь спросим иначе: какова вероятность вытянуть туза, если известно, что вытянутая карта чёрной масти?
Чёрных карт в колоде 18 (пики и трефы). Среди них ровно 2 туза (пиковый и трефовый). Поэтому P(туз | чёрная масть) = 2/18 = 1/9
или же
P(туз | черная масть) = P(туз и черная масть) / P(черная масть) = P(туз) * P(черная масть) / P(черная масть) = P(туз) = 1/9
В этот раз вероятности совпали. Это потому, что события «вытянуть туза» и «вытянуть чёрную масть» независимы. Масть не влияет на шанс быть тузом.
🔥 Пример с зависимыми событиями
Теперь изменим условие. Событие A — вытянули туза. Событие B — вытянули карту с картинкой (валет, дама, король, туз).
Всего карт с картинками в колоде 16 (4 валета, 4 дамы, 4 короля, 4 туза). Из них 4 туза. Поэтому P(туз | картинка) = 4/16 = 1/4
или
P(туз и картинка) — вероятность вытянуть карту, которая одновременно и туз, и картинка. Все тузы — это картинки, поэтому P(туз и картинка) = P(туз) = 4/36 = 1/9
P(картинка) = 16/36 = 4/9.
Подставляем в формулу: P(туз | картинка) = (1/9) / (4/9) = 1/4. Всё сходится.
А без условия вероятность туза была 4/36 = 1/9. Видно, что знание о том, что карта — картинка, сильно повысило шанс. События оказались
6 · 621 ·